1文字整理による因数分解のしかたを解説します.

整式についての解説は「展開 (1)」のページを参照してください.

● 降べきの順って？ ●

では,　質問.

整式

　\(x^2 + 3a^2 x – 5a^3\)

は何次式でしょう？

先頭に \(x^2\) があるから \(2\) 次式？

それは完全な正解ではない.

この整式は

\(x^2\),　\(3a^2 x\),　\(-5a^3\)

という \(3\) つの項から成っているよね.

まず,　これらの項の次数を見抜く.

掛けられている文字の個数 (「次数は字数」) だ.

係数 (数字の部分) は関係ない.

\(x^2 = \color{red}{x} \cdot \color{red}{x}\) は \(\color{red}{2}\) 次の項.

\(3a^2 x = 3 \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{x}\) は \(\color{red}{3}\) 次の項.

\(-5a^3 = -5 \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{a}\) も \(\color{red}{3}\) 次の項.

このうち最高次の項は \(\color{red}{3}\) 次.

整式の次数とは最高次の項の次数だから,

\(x\) と \(a\) の整式 \(x^2 + 3a^2 x – 5a^3\) は \(\color{red}{3}\) 次式だ.

話はここで終わらない.

文字 \(\color{red}{x}\) に着目して \(a\) を数字扱いすると,

　\(\color{red}{x^2} + 3a^2 \color{red}{x} – 5a^3\)

は \(\color{red}{x}\) の \(\color{red}{2}\) 次式.

逆に,　文字 \(\color{red}{a}\) に着目して \(x\) を数字扱いすると,

　\(x^2 + 3x \color{red}{a^2} – 5 \color{red}{a^3}\)

は \(\color{red}{a}\) の \(\color{red}{3}\) 次式.

このように,　どの文字に着目するかで整式の次数は異なってくる.

ところで,　\(\color{red}{x}\) について整理された

　\(\color{red}{x^2} + 3a^2 \color{red}{x} – 5a^3\)

は右の項ほど \(\color{red}{x}\) の次数が下がっているね.

このような項の並び方を \(\large\bf\color{blue}{降べきの順}\) (\(\rm{descending\ order\ of\ powers}\)) という.

「べき」とは漢字で書くと「\(\large\bf\color{blue}{冪}\)」 (\(\rm{power}\)) で,　累乗のことだよ.

ちなみに,　\(x\) がついていない \(-5a^3\) は \(0\) 次で,　定数項というぞ.

また,　\(\color{red}{a}\) について整理された

　\(x^2 + 3x \color{red}{a^2} – 5 \color{red}{a^3}\)

は右の項ほど \(\color{red}{a}\) の次数が上がっているね.

このような項の並び方を \(\large\bf\color{blue}{昇べきの順}\) (\(\rm{ascending\ order\ of\ powers}\)) という.

● 1人を主役に ●

日曜夜の某国民的シーフード系アニメ『サ〇エさん』.

毎回終わりに「さーて,　来週の〇ザ〇さんは…」

とか言いながら次回のテーマが発表される.

多くのキャラクター (\(\rm{character}\)) が出てくるが,

各テーマはだいたい「\(\color{red}{1}\) 人が主役」だ.

因数分解に話を戻そう.

例えば

　\(a(b^2 – c^2) + b(c^2 – a^2) + c(a^2 – b^2)\)

みたいに文字がたくさん出てくる式.

「文字」も英語で \(\rm{character}\).

多くのキャラクターが出てきたら,　\(\color{red}{1}\) 人を主役に.

ということで,　\(\color{red}{1}\) 文字 \(\color{red}{a}\) に着目して降べきの順に整理してみよう.

まず \(\color{red}{a}\) に着目.

　\(\color{red}{a}(b^2 – c^2) + b(c^2 – \color{red}{a^2}) + c(\color{red}{a^2} – b^2)\)

\(\color{red}{a^2}\) が \(2\) 箇所に分散しているので,

部分的に展開して

　\(\color{red}{a}(b^2 – c^2) + bc^2 – b \color{red}{a^2} + c \color{red}{a^2} – b^2 c\)

\(-b \color{red}{a^2}\) と \(+c \color{red}{a^2}\) は同類項として扱われるので \(1\) つにまとめる.

　\(-(b-c) \color{red}{a^2} + (b^2 – c^2)\color{red}{a} -b^2 c + bc^2\)

\(\color{red}{a}\) を主役にして整理したことによって,

共通因数が見えてくるぞ.

係数部分を因数分解して,

　\(-\color{blue}{(b-c)} \color{red}{a^2} + (b+c) \color{blue}{(b-c)} \color{red}{a} – bc \color{blue}{(b-c)}\)

共通因数 \(\color{blue}{b-c}\) をくくり出そう.

　\(\color{blue}{(b-c)} \{- \color{red}{a^2} + (b+c) \color{red}{a} – bc\}\)

\(\{\ \ \ \ \ \}\) 内のはじめがマイナス (\(-\)) なのが気持ち悪いので,

\(-1\) もくくり出す (\(\{\ \ \ \ \ \}\) 内を逆符号にする).

　\(-(b-c)\{\color{red}{a^2} – (b+c) \color{red}{a} + bc\}\)

あとは

　\(\color{red}{a^2} – (2+3)\color{red}{a} + 2 \cdot 3\)

　\(=(\color{red}{a} – 2)(\color{red}{a} – 3)\)

みたいに

　\(\color{red}{a^2} – (b+c)\color{red}{a} + bc\)

　\(=(\color{red}{a} – b)(\color{red}{a} – c)\)

と因数分解できるので,　結果,

　\(-(b-c)(\color{red}{a} – b)(\color{red}{a} – c)\)

ここで終わってもいいんだけど,

\(a-c=-(c-a)\) として

　\(-(b-c)(a-b)\{-(c-a)\}\)

\((-) \times (-) = (+)\) としてから掛け算の順序変更をして

　\(=(a-b)(b-c)(c-a)\)

とすると見栄えがいい.

　\(a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow a \cdots\)

と文字が循環して式中に現れる書き方を \(\large\bf\color{blue}{輪環の順}\) (\(\rm{cyclic\ order}\)) という.

● 低次の文字に着目 ●

ところで, \(2\) 文字の式

　\(x^2 + xy – x – y\)

を \(1\) 文字について整理して因数分解するとしたら,

どっちの文字に着目するといいかな？

　\(x^2 + xy – x – y\)

は,　\(x\) に着目すると \(2\) 次式,　\(y\) に着目すると \(1\) 次式.

そして,　一般に次数が低い式のほうが因数分解しやすいはずだ.

\(\color{red}{y}\) について整理すると

　\((x-1)\color{red}{y} + x^2 -x\)

定数項の部分を因数分解すると共通因数がでてきてこんにちは.

　\(\color{blue}{(x-1)} \color{red}{y} + x \color{blue}{(x-1)}\)

\(\color{blue}{(x-1)}\) をくくり出せば因数分解完了だ.

　\(\color{blue}{(x-1)} (\color{red}{y} + x)\)

● 係数が単純な文字に着目 ●

例えば

　\(3x^2 + 5xy – 2y^2 – x + 5y -2\)

の因数分解.

\(1\) 文字整理で解くとしたら,　\(x\),　\(y\) のどっちに着目しようか.

どっちに着目しても \(2\) 次式なのでどっちでもいいんだけど,

こういうときは \(\color{red}{2}\) 次の項の係数が単純なほうがおすすめ.

\(x^2\) の係数は \(3\),　\(y^2\) の係数は \(-2\) で,

マイナスがつかないほうが単純だよね.

そこで \(\color{red}{x}\) に着目して整理し,　因数分解してみよう.

　\(3 \color{red}{x^2} + 5 \color{red}{x} y – 2y^2 – \color{red}{x} + 5y -2\)

\(5y \color{red}{x}\) と \(- \color{red}{x}\) は同類項としてまとめる.

　\(3 \color{red}{x^2} + (5y-1) \color{red}{x} – (2y^2 – 5y + 2)\)

これで \(\color{red}{x}\) の \(2\) 次式として整理したことになる.

ここで

　\(3 \color{red}{x^2} + 7 \color{red}{x} – 6 = (3 \color{red}{x} – 2)(\color{red}{x} + 3)\)

のような因数分解を思い出そう.

(参照：「因数分解 (1)」)

定数項 \(-6\) を \(-2 \cdot 3\) と分解しているのがわかるね.

これと同じように,　さっきの式の定数項 \(2y^2 – 5y + 2\) も

\((2y-1)(y-2)\) と分解しておく.

　\(3 \color{red}{x^2} + (5y-1) \color{red}{x} – (2y-1)(y-2)\)

そして,　展開するとこの式になるものを逆算だ.

ちなみに,　いわゆる「たすき掛け」の形式で書くとこうだ.

したがって,　与式は

　\(\{3 \color{red}{x} – (y-2)\}\{\color{red}{x} + (2y-1)\}\)

\(\color{red}{x}\) を特別扱いせずに書くと

　\((3x-y+2)(x+2y-1)\)

これでできあがり.

● 因数分解の手順を確認しよう ●

(参考：「因数分解 (4)」)

因数分解は

①　\(\large\bf\color{blue}{共通因数}\) があればくくり出し,

②　当てはまる \(\large\bf\color{blue}{乗法公式}\) があれば適用する.

③　それでもダメなら次の \(3\) つ.

\(\large\bf\color{blue}{置換}\)　\(\cdots\)　式の一部を \(1\) 文字に置き換える.

\(\large\bf\color{blue}{整理}\)　\(\cdots\)　\(1\) 文字についての式とみて他の文字を係数扱いし,　同類項をまとめる.

\(\large\bf\color{blue}{完成}\)　\(\cdots\)　平方完成して \((\ \ \ )^2 – (\ \ \ )^2\) の形をつくる.　または,　立方完成して \((\ \ \ )^3 \pm (\ \ \ )^3\) の形をつくる.

いずれかを実行したら ① へ戻る.

今回は「\(\large\bf\color{blue}{整理}\)」をマスターしよう.

「\(\large\bf\color{blue}{置換}\)」,　「\(\large\bf\color{blue}{完成}\)」は別ページで解説するよ.

なお,　前出の

　\(x^2 + xy – x – y\)

の因数分解は,　はじめから \(\large\bf\color{blue}{共通因数}\) をつくってくくり出してもできるぞ.

　\(x^2 + xy – x – y\)

　\(=x \color{red}{(x+y)} – 1 \color{red}{(x+y)}\)

　\(=\color{red}{(x+y)} (x-1)\)

Point <因数分解の手順> ★★★

①　\(\large\bf\color{blue}{共通因数}\)　(なければつくれ)

➁　\(\large\bf\color{blue}{公式}\)・\(\large\bf\color{blue}{定理}\)(※)

③　\(\large\bf\color{blue}{置換}\)・\(\large\bf\color{blue}{整理}\)・\(\large\bf\color{blue}{完成}\)

(→　① へ戻る)

原則,　有理数範囲で限界まで.

※　別ページで解説する「因数定理」を指します.

■ 例題 ■　<複雑な式の因数分解>

次の式を因数分解せよ.

\((1)\)　\(x^2 + xy – x – y\)

\((2)\)　\(3x^2 + 5xy – 2y^2 – x + 5y -2\)

\((3)\)　\(a(b^2 – c^2) + b(c^2 – a^2) + c(a^2 – b^2)\)

\((1)\) 専修大 (ネットワーク情報)

\((2)\) 京都産業大

\((3)\) 龍谷大

■ 解答 ■

\((1)\)

　\(x^2 + x \color{red}{y} – x – \color{red}{y}\)

　\(=(x-1)\color{red}{y} + x^2 -x\)

　　(\(\color{red}{y}\) の \(1\) 次式として整理した.)

　\(=\color{blue}{(x-1)} \color{red}{y} + x \color{blue}{(x-1)}\)

　\(=\color{blue}{(x-1)} (\color{red}{y} +x)\)

　　(共通因数 \(\color{blue}{x-1}\) をくくり出した.)

　\(=(x-1)(x+y)\)　\(\cdots\) (答)

\((2)\)

　\(3 \color{red}{x^2} + 5 \color{red}{x} y – 2y^2 – \color{red}{x} + 5y -2\)

　\(=3 \color{red}{x^2} + (5y-1) \color{red}{x} – (2y^2 – 5y + 2)\)

　　(\(\color{red}{x}\) の \(2\) 次式として整理した.)

　\(=3 \color{red}{x^2} + (5y-1) \color{red}{x} – (2y-1)(y-2)\)

　\(=\{3 \color{red}{x} – (y-2)\}\{\color{red}{x} + (2y-1)\}\)

　\(=(3x-y+2)(x+2y-1)\)　\(\cdots\) (答)

\((3)\)

　\(\color{red}{a} (b^2 – c^2) + b(c^2 – \color{red}{a^2}) + c(\color{red}{a^2} – b^2)\)

　\(=(b^2 – c^2) \color{red}{a} + bc^2 – b \color{red}{a^2} + c \color{red}{a^2} – b^2 c\)

　\(=-(b-c) \color{red}{a^2} + (b^2 – c^2) \color{red}{a} – b^2 c + bc^2\)

　　(\(\color{red}{a}\) の \(2\) 次式として整理した.)

　\(=- \color{blue}{(b-c)} \color{red}{a^2} + (b+c) \color{blue}{(b-c)} \color{red}{a} – bc \color{blue}{(b-c)}\)

　\(=- \color{blue}{(b-c)} \{\color{red}{a^2} – (b+c) \color{red}{a} + bc\}\)

　　(共通因数 \(- \color{blue}{(b-c)}\) をくくり出した.)

　\(=- \color{blue}{(b-c)} (\color{red}{a} – b)(\color{red}{a} – c)\)

　\(=-(b-c)(a-b)\{-(c-a)\}\)

　\(=(a-b)(b-c)(c-a)\)　\(\cdots\) (答)

■ 練習 ■　<複雑な式の因数分解>

次の式を因数分解せよ.

\((1)\)　\(x^2 – xy + zx – wx + wy – wz\)

\((2)\)　\(2x^2 + 3xy – 2y^2 – 3x – y +1\)

\((3)\)　\((a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\)

\((1)\) 札幌大 (法・経営・文化)

\((2)\) 中央大 (経)

\((3)\) 札幌学院大

■ 解答 ■

\((1)\)

　\(x^2 – xy + zx – \color{red}{w} x + \color{red}{w} y – \color{red}{w} z\)

　\(=(-x+y-z) \color{red}{w} + x^2 -xy + zx\)

　　(\(\color{red}{w}\) の \(1\) 次式として整理した.)

　\(=- \color{blue}{(x-y+z)} \color{red}{w} + x \color{blue}{(x-y+z)}\)

　\(=\color{blue}{(x-y+z)}(- \color{red}{w}+x)\)

　　(共通因数 \(\color{blue}{x-y+z}\) をくくり出した.)

　\(=(x-w)(x-y+z)\)　\(\cdots\) (答)

\((2)\)

　\(2 \color{red}{x^2} + 3 \color{red}{x} y – 2y^2 – 3 \color{red}{x} – y +1\)

　\(=2 \color{red}{x^2} + (3y-3) \color{red}{x} – (2y^2 + y -1)\)

　　(\(\color{red}{x}\) の \(2\) 次式として整理した.)

　\(=2 \color{red}{x^2} + (3y-3) \color{red}{x} – (2y-1)(y+1)\)

　\(=\{2 \color{red}{x} – (y+1)\}\{\color{red}{x} + (2y-1)\}\)

　\(=(2x-y-1)(x+2y-1)\)　\(\cdots\) (答)

\((3)\)

　\((\color{red}{a} +b+c)(\color{red}{a} b+bc+c \color{red}{a}) – \color{red}{a} bc\)

　\(=\{\color{red}{a} + (b+c)\} \{(b+c) \color{red}{a} + bc\} – bc \color{red}{a}\)

　\(=(b+c) \color{red}{a^2} + bc \color{red}{a} + (b+c)^2 \color{red}{a} + bc(b+c)\) \(- bc \color{red}{a}\)

　\(=\color{blue}{(b+c)} \color{red}{a^2} + \color{blue}{(b+c)}(b+c) \color{red}{a} + bc\color{blue}{(b+c)}\)

● 降べきの順って？ ●

では, 質問.

整式

\(x^2 + 3a^2 x – 5a^3\)

は何次式でしょう？

先頭に \(x^2\) があるから \(2\) 次式？

それは完全な正解ではない.

この整式は

\(x^2\), \(3a^2 x\), \(-5a^3\)

という \(3\) つの 項 から成っているよね.

まず, これらの 項の次数 を見抜く.

掛けられている文字の個数 (「次数は字数」) だ.

係数 (数字の部分) は関係ない.

\(x^2 = \color{red}{x} \cdot \color{red}{x}\) は \(\color{red}{2}\) 次 の項.

\(3a^2 x = 3 \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{x}\) は \(\color{red}{3}\) 次 の項.

\(-5a^3 = -5 \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{a}\) も \(\color{red}{3}\) 次 の項.

このうち 最高次の項は \(\color{red}{3}\) 次.

整式の次数とは最高次の項の次数だから,

\(x\) と \(a\) の整式 \(x^2 + 3a^2 x – 5a^3\) は \(\color{red}{3}\) 次式 だ.

話はここで終わらない.

文字 \(\color{red}{x}\) に着目 して \(a\) を数字扱いすると,

\(\color{red}{x^2} + 3a^2 \color{red}{x} – 5a^3\)

は \(\color{red}{x}\) の \(\color{red}{2}\) 次式.

逆に, 文字 \(\color{red}{a}\) に着目 して \(x\) を数字扱いすると,

\(x^2 + 3x \color{red}{a^2} – 5 \color{red}{a^3}\)

は \(\color{red}{a}\) の \(\color{red}{3}\) 次式.

このように, どの文字に着目するかで整式の次数は異なってくる.

ところで, \(\color{red}{x}\) について整理 された

\(\color{red}{x^2} + 3a^2 \color{red}{x} – 5a^3\)

は右の項ほど \(\color{red}{x}\) の次数が下がっているね.

このような項の並び方を \(\large\bf\color{blue}{降べきの順}\) (\(\rm{descending\ order\ of\ powers}\)) という.

「べき」 とは漢字で書くと 「\(\large\bf\color{blue}{冪}\)」 (\(\rm{power}\)) で, 累乗のことだよ.

ちなみに, \(x\) がついていない \(-5a^3\) は \(0\) 次で, 定数項というぞ.

また, \(\color{red}{a}\) について整理 された

\(x^2 + 3x \color{red}{a^2} – 5 \color{red}{a^3}\)

は右の項ほど \(\color{red}{a}\) の次数が上がっているね.

このような項の並び方を \(\large\bf\color{blue}{昇べきの順}\) (\(\rm{ascending\ order\ of\ powers}\)) という.

● 1人を主役に ●

日曜 夜の某国民的シーフード系アニメ 『サ〇エさん』.

毎回 終わりに 「さーて, 来週の〇ザ〇さんは…」

とか言いながら次回のテーマが発表される.

多くのキャラクター (\(\rm{character}\)) が出てくるが,

各テーマは だいたい 「\(\color{red}{1}\) 人が主役」 だ.

因数分解に話を戻そう.

例えば

\(a(b^2 – c^2) + b(c^2 – a^2) + c(a^2 – b^2)\)

みたいに文字がたくさん出てくる式.

「文字」 も英語で \(\rm{character}\).

多くのキャラクターが出てきたら, \(\color{red}{1}\) 人を主役に.

ということで, \(\color{red}{1}\) 文字 \(\color{red}{a}\) に着目 して降べきの順に整理してみよう.

まず \(\color{red}{a}\) に着目.

\(\color{red}{a}(b^2 – c^2) + b(c^2 – \color{red}{a^2}) + c(\color{red}{a^2} – b^2)\)

\(\color{red}{a^2}\) が \(2\) 箇所に分散しているので,

部分的に展開して

\(\color{red}{a}(b^2 – c^2) + bc^2 – b \color{red}{a^2} + c \color{red}{a^2} – b^2 c\)

\(-b \color{red}{a^2}\) と \(+c \color{red}{a^2}\) は 同類項 として扱われるので \(1\) つにまとめる.

\(-(b-c) \color{red}{a^2} + (b^2 – c^2)\color{red}{a} -b^2 c + bc^2\)

\(\color{red}{a}\) を主役にして整理したことによって,

共通因数が見えてくるぞ.

係数部分を因数分解して,

\(-\color{blue}{(b-c)} \color{red}{a^2} + (b+c) \color{blue}{(b-c)} \color{red}{a} – bc \color{blue}{(b-c)}\)

共通因数 \(\color{blue}{b-c}\) をくくり出そう.

\(\color{blue}{(b-c)} \{- \color{red}{a^2} + (b+c) \color{red}{a} – bc\}\)

\(\{\ \ \ \ \ \}\) 内のはじめがマイナス (\(-\)) なのが気持ち悪いので,

\(-1\) もくくり出す (\(\{\ \ \ \ \ \}\) 内を逆符号にする).

\(-(b-c)\{\color{red}{a^2} – (b+c) \color{red}{a} + bc\}\)

あとは

\(\color{red}{a^2} – (2+3)\color{red}{a} + 2 \cdot 3\)

\(=(\color{red}{a} – 2)(\color{red}{a} – 3)\)

みたいに

\(\color{red}{a^2} – (b+c)\color{red}{a} + bc\)

\(=(\color{red}{a} – b)(\color{red}{a} – c)\)

と因数分解できるので, 結果,

\(-(b-c)(\color{red}{a} – b)(\color{red}{a} – c)\)

ここで終わってもいいんだけど,

\(a-c=-(c-a)\) として

\(-(b-c)(a-b)\{-(c-a)\}\)

\((-) \times (-) = (+)\) としてから掛け算の順序変更をして

\(=(a-b)(b-c)(c-a)\)

とすると見栄えがいい.

では,　質問.

　\(x^2 + 3a^2 x – 5a^3\)

\(x^2\),　\(3a^2 x\),　\(-5a^3\)

という \(3\) つの項から成っているよね.

まず,　これらの項の次数を見抜く.

\(x^2 = \color{red}{x} \cdot \color{red}{x}\) は \(\color{red}{2}\) 次の項.

\(3a^2 x = 3 \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{x}\) は \(\color{red}{3}\) 次の項.

\(-5a^3 = -5 \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{a}\) も \(\color{red}{3}\) 次の項.

このうち最高次の項は \(\color{red}{3}\) 次.

\(x\) と \(a\) の整式 \(x^2 + 3a^2 x – 5a^3\) は \(\color{red}{3}\) 次式だ.

文字 \(\color{red}{x}\) に着目して \(a\) を数字扱いすると,

　\(\color{red}{x^2} + 3a^2 \color{red}{x} – 5a^3\)

逆に,　文字 \(\color{red}{a}\) に着目して \(x\) を数字扱いすると,

　\(x^2 + 3x \color{red}{a^2} – 5 \color{red}{a^3}\)

このように,　どの文字に着目するかで整式の次数は異なってくる.

ところで,　\(\color{red}{x}\) について整理された

　\(\color{red}{x^2} + 3a^2 \color{red}{x} – 5a^3\)

「べき」とは漢字で書くと「\(\large\bf\color{blue}{冪}\)」 (\(\rm{power}\)) で,　累乗のことだよ.

ちなみに,　\(x\) がついていない \(-5a^3\) は \(0\) 次で,　定数項というぞ.

また,　\(\color{red}{a}\) について整理された

　\(x^2 + 3x \color{red}{a^2} – 5 \color{red}{a^3}\)

日曜夜の某国民的シーフード系アニメ『サ〇エさん』.

毎回終わりに「さーて,　来週の〇ザ〇さんは…」

各テーマはだいたい「\(\color{red}{1}\) 人が主役」だ.

　\(a(b^2 – c^2) + b(c^2 – a^2) + c(a^2 – b^2)\)

「文字」も英語で \(\rm{character}\).

多くのキャラクターが出てきたら,　\(\color{red}{1}\) 人を主役に.

ということで,　\(\color{red}{1}\) 文字 \(\color{red}{a}\) に着目して降べきの順に整理してみよう.

　\(\color{red}{a}(b^2 – c^2) + b(c^2 – \color{red}{a^2}) + c(\color{red}{a^2} – b^2)\)

　\(\color{red}{a}(b^2 – c^2) + bc^2 – b \color{red}{a^2} + c \color{red}{a^2} – b^2 c\)

\(-b \color{red}{a^2}\) と \(+c \color{red}{a^2}\) は同類項として扱われるので \(1\) つにまとめる.

　\(-(b-c) \color{red}{a^2} + (b^2 – c^2)\color{red}{a} -b^2 c + bc^2\)

　\(-\color{blue}{(b-c)} \color{red}{a^2} + (b+c) \color{blue}{(b-c)} \color{red}{a} – bc \color{blue}{(b-c)}\)

　\(\color{blue}{(b-c)} \{- \color{red}{a^2} + (b+c) \color{red}{a} – bc\}\)

　\(-(b-c)\{\color{red}{a^2} – (b+c) \color{red}{a} + bc\}\)

　\(\color{red}{a^2} – (2+3)\color{red}{a} + 2 \cdot 3\)

　\(=(\color{red}{a} – 2)(\color{red}{a} – 3)\)

　\(\color{red}{a^2} – (b+c)\color{red}{a} + bc\)

　\(=(\color{red}{a} – b)(\color{red}{a} – c)\)

と因数分解できるので,　結果,

　\(-(b-c)(\color{red}{a} – b)(\color{red}{a} – c)\)

　\(-(b-c)(a-b)\{-(c-a)\}\)

　\(=(a-b)(b-c)(c-a)\)

　\(a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow a \cdots\)

　\(x^2 + xy – x – y\)

おすすめは,　次数の低いほうの文字だ.

　\(x^2 + xy – x – y\)

は,　\(x\) に着目すると \(2\) 次式,　\(y\) に着目すると \(1\) 次式.

そして,　一般に次数が低い式のほうが因数分解しやすいはずだ.

　\((x-1)\color{red}{y} + x^2 -x\)

定数項の部分を因数分解すると共通因数がでてきてこんにちは.

　\(\color{blue}{(x-1)} \color{red}{y} + x \color{blue}{(x-1)}\)

　\(\color{blue}{(x-1)} (\color{red}{y} + x)\)

　\(3x^2 + 5xy – 2y^2 – x + 5y -2\)

\(1\) 文字整理で解くとしたら,　\(x\),　\(y\) のどっちに着目しようか.

どっちに着目しても \(2\) 次式なのでどっちでもいいんだけど,

こういうときは \(\color{red}{2}\) 次の項の係数が単純なほうがおすすめ.

\(x^2\) の係数は \(3\),　\(y^2\) の係数は \(-2\) で,

そこで \(\color{red}{x}\) に着目して整理し,　因数分解してみよう.

　\(3 \color{red}{x^2} + 5 \color{red}{x} y – 2y^2 – \color{red}{x} + 5y -2\)

　\(3 \color{red}{x^2} + (5y-1) \color{red}{x} – (2y^2 – 5y + 2)\)

　\(3 \color{red}{x^2} + 7 \color{red}{x} – 6 = (3 \color{red}{x} – 2)(\color{red}{x} + 3)\)

これと同じように,　さっきの式の定数項 \(2y^2 – 5y + 2\) も

　\(3 \color{red}{x^2} + (5y-1) \color{red}{x} – (2y-1)(y-2)\)

そして,　展開するとこの式になるものを逆算だ.

ちなみに,　いわゆる「たすき掛け」の形式で書くとこうだ.

したがって,　与式は

　\(\{3 \color{red}{x} – (y-2)\}\{\color{red}{x} + (2y-1)\}\)

　\((3x-y+2)(x+2y-1)\)

これでできあがり.

①　\(\large\bf\color{blue}{共通因数}\) があればくくり出し,

②　当てはまる \(\large\bf\color{blue}{乗法公式}\) があれば適用する.

③　それでもダメなら次の \(3\) つ.

\(\large\bf\color{blue}{置換}\)　\(\cdots\)　式の一部を \(1\) 文字に置き換える.

\(\large\bf\color{blue}{整理}\)　\(\cdots\)　\(1\) 文字についての式とみて他の文字を係数扱いし,　同類項をまとめる.

\(\large\bf\color{blue}{完成}\)　\(\cdots\)　平方完成して \((\ \ \ )^2 – (\ \ \ )^2\) の形をつくる.　または,　立方完成して \((\ \ \ )^3 \pm (\ \ \ )^3\) の形をつくる.

今回は「\(\large\bf\color{blue}{整理}\)」をマスターしよう.

「\(\large\bf\color{blue}{置換}\)」,　「\(\large\bf\color{blue}{完成}\)」は別ページで解説するよ.

なお,　前出の

　\(x^2 + xy – x – y\)